Non-intrusive and structure preserving multiscale integration of stiff ODEs, SDEs and Hamiltonian systems with hidden slow dynamics via flow averaging

We introduce a new class of integrators for stiff ODEs as well as SDEs. These integrators are (i) {\it Multiscale}: they are based on flow averaging and so do not fully resolve the fast variables and have a computational cost determined by slow variables (ii) {\it Versatile}: the method is based on averaging the flows of the given dynamical system (which may have hidden slow and fast processes) instead of averaging the instantaneous drift of assumed separated slow and fast processes. This bypasses the need for identifying explicitly (or numerically) the slow or fast variables (iii) {\it Nonintrusive}: A pre-existing numerical scheme resolving the microscopic time scale can be used as a black box and easily turned into one of the integrators in this paper by turning the large coefficients on over a microscopic timescale and off during a mesoscopic timescale (iv) {\it Convergent over two scales}: strongly over slow processes and in the sense of measures over fast ones. We introduce the related notion of two-scale flow convergence and analyze the convergence of these integrators under the induced topology (v) {\it Structure preserving}: for stiff Hamiltonian systems (possibly on manifolds), they can be made to be symplectic, time-reversible, and symmetry preserving (symmetries are group actions that leave the system invariant) in all variables. They are explicit and applicable to arbitrary stiff potentials (that need not be quadratic). Their application to the Fermi-Pasta-Ulam problems shows accuracy and stability over four orders of magnitude of time scales. For stiff Langevin equations, they are symmetry preserving, time-reversible and Boltzmann-Gibbs reversible, quasi-symplectic on all variables and conformally symplectic with isotropic friction.Comment: 69 pages, 21 figure

The Fermi-Pasta-Ulam problem: 50 years of progress

A brief review of the Fermi-Pasta-Ulam (FPU) paradox is given, together with its suggested resolutions and its relation to other physical problems. We focus on the ideas and concepts that have become the core of modern nonlinear mechanics, in their historical perspective. Starting from the first numerical results of FPU, both theoretical and numerical findings are discussed in close connection with the problems of ergodicity, integrability, chaos and stability of motion. New directions related to the Bose-Einstein condensation and quantum systems of interacting Bose-particles are also considered.Comment: 48 pages, no figures, corrected and accepted for publicatio

Sur la théorie des appareils indicateurs

Dans cet article, écrit par le Professeur Dr. N. Kryloff en collaboration avec son élève et assistant M. N. Bogoliuboff, sont exposées quelques recherches récentes des auteurs se rapportant à la correction des diagrammes obtenues à l'aide des appareils indicateurs. Parmi les méthodes détaillées au cours de cet article les auteurs attirent surtout l'attention sur la généralisation de la méthode qu'on aurait pu nommer celle du « déplacement du diagramme ». Cette méthode est à la base de la construction du « rectificateur du diagramme ». Les différentes majorations, ci-dessous obtenues, des erreurs moyennes quadratiques et ponctuelles visent surtout la synchronisation intégrale au sens de M. Blondel dans le cas où la synchronisation au sens de Cornu se trouve réalisée. L'article se compose de quatre paragraphes : 1. Quelques considérations sur les synchronisations au sens de Cornu et au sens de M. A. Blondel. L'estimation de l'erreur quadratique moyenne de la synchronisation inté grale. 2. Méthode du déplacement du diagramme. L'estimation de l'erreur quadratique moyenne pour α = √2. 3. Méthode généralisée du déplacement du diagramme. L'appréciation de l'erreur quadratique moyenne dans le cas où les constantes de l'appareil sont choisies de manière que la synchronisation au sens de Cornu, soit la plus parfaite (α = 2). La détermination des constantes de la méthode généralisée du déplacement du diagramme de façon à rendre la plus petite possible (au point de vue de la synchronisation intégrale) la valeur de l'erreur susdite. Quelques tableaux pour la majoration de l'erreur. Obtention de deux formules qui peuvent servir à rectifier le diagramme (idée du rectificateur du diagramme). 4. Appréciation de l'erreur ponctuelle par les trois méthodes détaillées dans cet article